Formule explicite

Il est possible de déterminer le terme \(u_{200}\) d'une suite géométrique en connaissant la raison ainsi que la valeur de \(u_{10}\) en appliquant plusieurs fois la relation de récurrence. Mais l'utilisation de la formule de récurrence nécessite le calcul de tous les termes de \(u_{11}\)  jusqu'à \(u_{200}\) . La formule suivante permet de trouver rapidement le résultat.

Théorème   Formule explicite
 Soit \((u_n)\) une suite  géométrique de raison  \(q>0\) .

Alors pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n=u_0 q^n\) .                                \(\)

Explication

Par définition, \(u_1=u_0 q\)  et \(u_2=u_1 q\) .

De ces deux égalités, nous pouvons écrire que \(u_2=(u_0q)q=u_0q^2.\)

De même, \(u_3=u_2q=( u_0q^2)q=u_0q^3\) .

De proche en proche, nous obtenons l'égalité \(u_n=u_0 q^n.\)

Exemple

Si \((u_n)\) est la suite géométrique de raison \(q=2\)  et de premier terme \(u_0=5\) , alors pour tout entier `n` : \(u_n=5\times 2^n\) .

On obtient par exemple : \(u_6=5\times 2^6=320 .\)

Attention ! \(5\times 2^6 \neq 10^6\)

Théorème   Généralisation de la formule explicite

 Soit `(u_n)`  une suite  géométrique de raison \(q>0\) .

Alors pour tout entier \(n\)  et tout entier  `p` : \(u_n=u_p q^{n-p}\) .

Démonstration

Rappel :  \(\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}\) . Donc \(\dfrac{u_n}{u_p}=\dfrac{u_0 q^n}{u_0 q^p}= \dfrac{q^n}{ q^p}=q^{n-p}\) .

En multipliant les deux membres de cette égalité par  \(u_p\) , on obtient : \(u_n=u_p q^{n-p}\) .

Cette formule est très utile car elle ne nécessite pas la connaissance de  \(u_0\) . De plus, elle peut être utilisée sans contrainte sur l'ordre des entiers \(n\) et \(p\) , ce qui la rend très efficace dans beaucoup de calculs.

Exemple

Soit  `(u_n)` une suite géométrique telle que \(u_{14}=32\)  et de raison \(q=1{,}5\) .
\(u_{40}=u_{14}\times (1{,}5)^{40-14}=32\times 1{,}5^{26}\)

\(u_0=u_{14}\times (1{,}5)^{0-14}= 32\times 1{,}5^{-14}\)